【平面向量垂直公式】在数学中，向量是具有大小和方向的量，常用于几何、物理和工程等领域。当两个向量的方向相互垂直时，它们被称为垂直向量。判断两个向量是否垂直，可以使用平面向量垂直公式。
一、平面向量垂直的定义
如果两个非零向量 a 和 b 的夹角为 90°，则称这两个向量互相垂直。在平面直角坐标系中，可以通过向量的点积（内积）来判断它们是否垂直。
二、平面向量垂直公式
设向量 a = (x₁, y₁)，向量 b = (x₂, y₂)，则：
- 点积公式：
$$
a \cdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2
$$
- 垂直条件：
若 $ a \cdot b = 0 $，则向量 a 与 b 垂直。
三、总结与对比
| 向量表示 | 点积公式 | 是否垂直判断 | 说明 |
| a = (x₁, y₁), b = (x₂, y₂) | $ x_1 x_2 + y_1 y_2 $ | 如果结果为 0，则垂直 | 判断两向量是否垂直的关键方法 |
| a = (a₁, a₂), b = (b₁, b₂) | $ a_1 b_1 + a_2 b_2 $ | 如果结果为 0，则垂直 | 适用于所有二维平面向量 |
| a = (x, y), b = (-y, x) | $ x(-y) + y(x) = -xy + xy = 0 $ | 垂直 | 该向量是原向量的垂直向量 |
四、应用举例
例1：已知向量 a = (3, 4)，b = (-4, 3)，判断是否垂直。
$$
a \cdot b = 3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0
$$
结论：两向量垂直。
五、注意事项
- 零向量与任何向量都不构成垂直关系，因为零向量没有确定的方向。
- 在三维空间中，判断向量垂直仍可使用点积公式，但需注意三维坐标表示。
- 实际应用中，垂直向量常用于几何构造、图形旋转、物理受力分析等场景。
通过掌握平面向量垂直公式，我们可以快速判断两个向量之间的关系，并应用于多种实际问题中。理解其原理有助于提升对向量运算的整体认知。
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