【阶乘的公式是怎样的】阶乘是数学中一个非常基础且常见的概念，广泛应用于组合数学、概率论和计算机科学等领域。阶乘的符号为“!”，表示从1到该数的所有正整数的乘积。本文将对阶乘的定义、公式及计算方式进行总结，并通过表格形式展示常见数值。
一、阶乘的定义
阶乘（Factorial）是一个非负整数n的乘积，记作n!，其定义如下：
- 当n = 0时，规定0! = 1
- 当n > 0时，n! = n × (n - 1) × (n - 2) × … × 2 × 1
这个定义使得阶乘在排列组合问题中具有重要的意义，例如：n个不同元素的全排列数为n!。
二、阶乘的公式
阶乘的通用公式为：
$$
n! = \prod_{k=1}^{n} k \quad (n \in \mathbb{N}_0)
$$
其中，$\mathbb{N}_0$表示包括0在内的所有自然数。
三、阶乘的计算方式
阶乘可以通过递归或迭代的方式进行计算：
- 递归方式：
$$
n! =
\begin{cases}
1 & \text{if } n = 0 \\
n \times (n - 1)! & \text{if } n > 0
\end{cases}
$$
- 迭代方式：
从1开始，依次乘以2、3、…、n，直到达到目标值。
四、常见阶乘值对照表
| 数字 n | 阶乘 n! |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3628800 |
五、注意事项
- 阶乘仅适用于非负整数。
- 随着n的增大，n!增长速度极快，远远超过指数函数。
- 在实际应用中，当n较大时，直接计算阶乘可能会超出计算机的数值范围，因此常使用近似公式（如斯特林公式）进行估算。
六、结语
阶乘作为数学中的基本运算之一，不仅在理论研究中有着广泛应用，在编程和工程实践中也十分常见。理解阶乘的定义与计算方法，有助于更好地掌握组合数学和概率统计的相关知识。
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