【自由落体三个公式推导】在物理学中，自由落体运动是一个经典的匀加速直线运动问题。物体仅在重力作用下从静止开始下落的运动称为自由落体运动。在忽略空气阻力的情况下，自由落体的加速度恒为重力加速度 $ g $，其大小约为 $ 9.8 \, \text{m/s}^2 $。
以下是自由落体运动的三个基本公式及其推导过程的总结。
一、自由落体三个公式的推导
1. 速度与时间的关系公式
公式：
$$
v = gt
$$
推导过程：
自由落体初速度 $ v_0 = 0 $，加速度为 $ g $，根据匀变速直线运动的速度公式：
$$
v = v_0 + at
$$
代入 $ v_0 = 0 $，$ a = g $，得到：
$$
v = gt
$$
2. 位移与时间的关系公式
公式：
$$
h = \frac{1}{2}gt^2
$$
推导过程：
根据匀变速直线运动的位移公式：
$$
h = v_0 t + \frac{1}{2}at^2
$$
代入 $ v_0 = 0 $，$ a = g $，得到：
$$
h = \frac{1}{2}gt^2
$$
3. 速度与位移的关系公式
公式：
$$
v^2 = 2gh
$$
推导过程：
由前两个公式 $ v = gt $ 和 $ h = \frac{1}{2}gt^2 $，可消去时间 $ t $，
由 $ t = \frac{v}{g} $ 代入 $ h = \frac{1}{2}g\left(\frac{v}{g}\right)^2 $，
得到：
$$
h = \frac{v^2}{2g} \quad \Rightarrow \quad v^2 = 2gh
$$
二、公式总结表格
| 公式名称 | 公式表达式 | 物理含义 | 使用条件 |
| 速度-时间 | $ v = gt $ | 速度随时间线性增加 | 初速度为零 |
| 位移-时间 | $ h = \frac{1}{2}gt^2 $ | 位移与时间平方成正比 | 初速度为零 |
| 速度-位移 | $ v^2 = 2gh $ | 速度与位移的平方根成正比 | 不涉及时间 |
通过以上推导和总结，我们可以清晰地理解自由落体运动的基本规律，并能灵活应用于实际问题中。这些公式是解决自由落体问题的基础工具，适用于物理学习和工程计算等领域。
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