【高中数学等比数列前n项和(教案)】一、教学目标：

1. 理解等比数列的定义及通项公式；

2. 掌握等比数列前n项和的推导过程；

3. 能够灵活运用等比数列前n项和公式解决实际问题；

4. 培养学生逻辑思维能力和数学建模意识。

二、教学重点与难点：

- 重点：等比数列前n项和公式的推导与应用；

- 难点：理解等比数列求和公式的推导过程，特别是错位相减法的应用。

三、教学准备：

- 教具：多媒体课件、黑板、粉笔；

- 学生准备：复习等差数列相关知识，预习等比数列的基本概念。

四、教学过程：

1. 情境导入（5分钟）

教师通过一个生活中的例子引入课题：比如银行存款利息计算、细胞分裂增长等问题。引导学生思考这些现象中是否存在某种规律性，从而引出“等比数列”的概念。

2. 复习旧知（5分钟）

回顾等差数列的概念和前n项和公式，为后续学习等比数列做铺垫。

3. 新知讲解（15分钟）

（1）定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，这样的数列叫做等比数列，这个常数称为公比，记作q。

（2）通项公式：若首项为a₁，公比为q，则第n项为 aₙ = a₁·q^(n−1)

（3）前n项和公式推导：

设等比数列的前n项和为Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + … + a₁q^(n−1)

利用错位相减法：

Sₙ = a₁ + a₁q + a₁q² + … + a₁q^(n−1)

qSₙ = a₁q + a₁q² + … + a₁q^n

两式相减得：

Sₙ − qSₙ = a₁ − a₁q^n

即：(1 − q)Sₙ = a₁(1 − q^n)

所以当q ≠ 1时，Sₙ = a₁(1 − q^n)/(1 − q)

当q = 1时，数列为常数列，Sₙ = n·a₁

4. 典型例题解析（10分钟）

例1：已知等比数列首项为2，公比为3，求前5项的和。

解：S₅ = 2×(1 − 3⁵)/(1 − 3) = 2×(1 − 243)/(-2) = 2×(-242)/(-2) = 242

例2：某等比数列前3项和为14，前6项和为126，求公比q。

解：设首项为a₁，公比为q，

则 S₃ = a₁(1 − q³)/(1 − q) = 14

S₆ = a₁(1 − q⁶)/(1 − q) = 126

将S₆除以S₃得：

[1 − q⁶]/[1 − q³] = 9

即 (1 − q³)(1 + q³)/(1 − q³) = 1 + q³ = 9 ⇒ q³ = 8 ⇒ q = 2

5. 巩固练习（10分钟）

设计几道基础题和综合题，让学生独立完成，教师巡视指导，及时反馈。

6. 小结与作业布置（5分钟）

小结：本节课主要学习了等比数列前n项和的公式及其推导方法，掌握了如何利用公式解决实际问题。

作业：课本P58页第1、2、3题；拓展题：已知等比数列前n项和为Sₙ，且S₂=3，S₄=15，求公比q。

五、教学反思：

本节课通过生活实例引入，激发学生兴趣；在公式的推导过程中注重逻辑推理，帮助学生理解数学思想；通过例题与练习巩固所学内容，提升学生的应用能力。后续可结合实际问题进一步拓展等比数列的应用场景。