【示范教案(2.3.2（平面向量的正交分解及坐标表示)）】一、教学目标

1. 知识与技能

- 理解平面向量的正交分解的概念，掌握将一个向量分解为两个互相垂直的向量的方法。

- 掌握平面向量的坐标表示方法，能够根据坐标确定向量的方向和大小。

- 能够运用坐标形式进行向量的加减运算和数乘运算。

2. 过程与方法

- 通过实际问题引入正交分解的概念，引导学生从几何直观出发，逐步抽象出数学模型。

- 通过小组合作探究，提升学生的逻辑思维能力和数学表达能力。

3. 情感态度与价值观

- 激发学生对向量知识的兴趣，体会数学在现实生活中的应用价值。

- 培养学生严谨的数学思维习惯和良好的合作意识。

二、教学重点与难点

- 重点：平面向量的正交分解及其坐标表示。

- 难点：理解正交分解的意义，并能灵活运用坐标形式进行向量运算。

三、教学准备

- 教具：多媒体课件、直尺、圆规、白板笔等。

- 学生准备：课本、练习本、铅笔、橡皮等学习用具。

四、教学过程

1. 情境导入（5分钟）

教师通过生活实例引入课题：

“同学们，我们平时在体育比赛中，比如踢足球时，球员要根据球的位置和方向来决定跑动路线。这其实就涉及到向量的方向和大小。今天我们要学习的是如何将一个向量分解成两个相互垂直的分量，这种方法叫做正交分解。”

接着，教师展示一张简单的平面图，上面画有向量 a，并提问：“如果我要把这个向量拆成水平方向和竖直方向的两个分量，应该怎么处理？”

学生思考后，教师引导他们回顾向量的加法法则，引出正交分解的概念。

2. 新知讲解（15分钟）

（1）正交分解的概念

教师讲解：

“如果一个向量可以表示为两个互相垂直的向量之和，那么这种分解方式称为正交分解。这两个互相垂直的向量通常分别沿着坐标轴方向。”

（2）坐标表示

教师进一步说明：

“在平面直角坐标系中，我们可以用一对有序实数（x, y）来表示一个向量。其中，x 表示该向量在 x 轴上的投影长度，y 表示在 y 轴上的投影长度。这种表示方法叫做向量的坐标表示。”

举例说明：

设向量 a = (3, 4)，则它可看作由向量 i = (1, 0) 和 j = (0, 1) 的线性组合，即 a = 3i + 4j。

（3）正交分解的应用

教师引导学生分析：

“如果我们知道一个向量的坐标，就可以将其分解为沿 x 轴和 y 轴的两个分量，这有助于我们在物理中分析力的合成与分解。”

3. 合作探究（10分钟）

教师布置任务：

“请同学们以小组为单位，完成以下题目：已知向量 b = (-2, 5)，试将其分解为两个正交向量的和，并写出其坐标表示。”

学生分组讨论后，教师邀请几组代表上台展示他们的思路和结果，其他同学进行补充或质疑，教师适时点评并纠正错误。

4. 巩固练习（10分钟）

教师出示几道练习题，如：

1. 向量 c = (6, -3)，写出它的正交分解形式。

2. 若向量 d = 2i - 5j，求其坐标表示。

3. 已知向量 e = (4, 7)，求其在 x 轴和 y 轴上的投影。

学生独立完成，教师巡视指导，及时反馈。

5. 小结与作业（5分钟）

教师引导学生总结本节课

“今天我们学习了平面向量的正交分解，掌握了如何将一个向量表示为两个正交向量的和，并了解了坐标表示的意义和应用。”

布置作业：

- 教材第 85 页习题 2.3 第 3、5 题；

- 自主查阅资料，了解向量在物理中的实际应用案例，下节课分享。

五、板书设计

```

1. 正交分解：将一个向量分解为两个互相垂直的向量之和。

2. 坐标表示：向量 a = (x, y)，其中 x 是 x 轴上的投影，y 是 y 轴上的投影。

3. 例：a = 3i + 4j → a = (3, 4)

4. 应用：便于计算和分析

```

六、教学反思（课后填写）

本节课通过生活实例引入课题，激发了学生的学习兴趣。大部分学生能够理解正交分解的基本概念，并能正确进行坐标表示。但在实际应用中，部分学生仍存在一定的困难，需在后续课程中加强训练与巩固。