【北师大版九年级上册数学第一单元试卷】在九年级的数学学习中，第一单元通常是关于“一元二次方程”的内容。这一单元不仅是初中数学的重要组成部分，也为后续学习二次函数、几何与代数的综合应用打下坚实的基础。为了帮助同学们更好地掌握本单元的知识点，下面将围绕该单元的内容，整理一份原创的试卷，旨在提升学生的理解能力与解题技巧。
一、选择题（每题3分，共15分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. $ x + 2 = 0 $
B. $ x^2 - 3x + 1 = 0 $
C. $ 2x + y = 5 $
D. $ x^3 + x = 2 $
2. 方程 $ x^2 - 4x + 4 = 0 $ 的根为（ ）
A. 1和3
B. 2和2
C. -2和-2
D. 无实数根
3. 若方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 有两个相等的实数根，则判别式 $ \Delta $ 满足（ ）
A. $ \Delta > 0 $
B. $ \Delta = 0 $
C. $ \Delta < 0 $
D. 不确定
4. 关于 $ x $ 的方程 $ (x - 1)(x + 2) = 0 $ 的解是（ ）
A. $ x = 1 $
B. $ x = -2 $
C. $ x = 1 $ 或 $ x = -2 $
D. 无解
5. 将方程 $ x^2 - 6x = 7 $ 化为标准形式后，常数项是（ ）
A. -6
B. 7
C. -7
D. 6
二、填空题（每题4分，共20分）
6. 方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的两个根为 ______ 和 ______。
7. 若方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根为 2 和 -3，则 $ p = $ ______，$ q = $ ______。
8. 方程 $ (x + 3)^2 = 4 $ 的解为 ______。
9. 若方程 $ 2x^2 + mx - 6 = 0 $ 的一个根为 2，则 $ m = $ ______。
10. 一元二次方程 $ x^2 + 2x - 3 = 0 $ 的根的和为 ______。
三、解答题（共65分）
11. 解下列方程：（每小题5分，共10分）
（1）$ x^2 - 4x = 0 $
（2）$ x^2 + 6x + 8 = 0 $
12. 用配方法解方程：$ x^2 - 6x + 5 = 0 $。（10分）
13. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + (m - 1)x + m = 0 $ 有两个相等的实数根，求 $ m $ 的值。（10分）
14. 一个长方形的长比宽多2米，面积为24平方米，求这个长方形的长和宽。（10分）
15. 已知一元二次方程 $ x^2 - 4x + k = 0 $ 的一个根是 1，求另一个根及 $ k $ 的值。（10分）
16. 某商品原价为 100 元，连续两次降价后价格为 64 元，求每次降价的百分率。（15分）
四、附加题（10分）
17. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根为 $ x_1 $ 和 $ x_2 $，若 $ x_1 + x_2 = 5 $，$ x_1 \cdot x_2 = 6 $，求 $ p $ 和 $ q $ 的值，并写出这个方程。
参考答案（供教师或学生自检使用）
1. B
2. B
3. B
4. C
5. C
6. 2，3
7. -1，-6
8. -1，-5
9. 1
10. -2
11. （1）0，4；（2）-2，-4
12. $ x = 1 $ 或 $ x = 5 $
13. $ m = 1 $
14. 长 6 米，宽 4 米
15. 另一个根为 3，$ k = -3 $
16. 每次降价 20%
17. $ p = -5 $，$ q = 6 $，方程为 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $
这份试卷紧扣教材内容，注重基础与应用结合，既适合课堂检测，也适用于课后复习。通过练习，学生可以加深对一元二次方程的理解，提高解题能力和逻辑思维水平。
