【正切函数的图像与性质优质教案(8页)】一、教学目标
1. 知识与技能目标：
- 理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性及单调性等基本性质；
- 掌握正切函数图像的绘制方法，能够根据图像分析其性质；
- 能够利用正切函数的性质解决简单的实际问题。
2. 过程与方法目标：
- 通过观察和分析正切函数的图像，培养学生的数形结合思想；
- 通过小组合作探究，提高学生分析问题、解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：
- 激发学生对三角函数的兴趣，体会数学在现实生活中的应用价值；
- 培养学生严谨的数学思维习惯和良好的合作意识。
二、教学重点与难点
- 教学重点：
正切函数的图像特征及其主要性质（如周期性、奇偶性、单调性等）。
- 教学难点：
理解正切函数的渐近线概念以及其图像的不连续性。
三、教学准备
- 多媒体课件（包含正切函数图像动态演示）；
- 学案（含练习题与思考题）；
- 直尺、坐标纸、彩色笔等绘图工具。
四、教学过程设计（8页内容）
第一页：引入课题
导入新课：
教师提问：“我们已经学习了正弦函数和余弦函数的图像与性质，那么正切函数的图像又是什么样的呢？它有哪些独特的性质？”
引导学生回忆正弦、余弦函数的基本性质，并引出正切函数的学习内容。
第二页：正切函数的定义与定义域
定义：
正切函数是三角函数之一，记作 $ y = \tan x $，其定义为：
$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}
$$
定义域：
由于分母不能为零，因此正切函数的定义域为：
$$
x \in \mathbb{R} \quad \text{且} \quad x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad (k \in \mathbb{Z})
$$
即：所有实数中排除 $ x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2}, \dots $
第三页：正切函数的值域与周期性
值域：
正切函数的值域为全体实数，即：
$$
y \in \mathbb{R}
$$
周期性：
正切函数是一个周期函数，其最小正周期为 $ \pi $，即：
$$
\tan(x + \pi) = \tan x
$$
第四页：正切函数的奇偶性
奇偶性分析：
$$
\tan(-x) = -\tan x
$$
因此，正切函数是一个奇函数，其图像关于原点对称。
第五页：正切函数的单调性
单调区间：
正切函数在其每一个周期内（如 $ (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) $）是严格递增的。
但需要注意的是，正切函数在每个相邻的周期之间是不连续的，存在垂直渐近线。
第六页：正切函数的图像绘制
图像特点：
- 图像由多个“分支”构成，每个分支对应一个周期；
- 在 $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $ 处有垂直渐近线；
- 图像在每个周期内从负无穷趋向于正无穷，呈上升趋势。
绘制步骤：
1. 在坐标系中画出垂直渐近线 $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $；
2. 在每个周期内选取几个关键点（如 $ x = 0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2} $）；
3. 连接这些点，形成逐渐上升的曲线。
第七页：典型例题解析
例题1：
求函数 $ y = \tan(2x) $ 的定义域。
解：
令 $ 2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $，即：
$$
x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad (k \in \mathbb{Z})
$$
例题2：
判断函数 $ y = \tan x $ 是否为奇函数。
解：
$$
\tan(-x) = -\tan x \Rightarrow \text{是奇函数}
$$
第八页：课堂小结与作业布置
课堂小结：
- 正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性；
- 图像特点：具有周期性、奇函数、存在渐近线；
- 图像绘制方法：注意渐近线位置与函数的递增趋势。
作业布置：
1. 完成教材相关练习题；
2. 绘制 $ y = \tan x $ 的图像并标注关键点；
3. 思考题：如何判断函数 $ y = \tan(3x) $ 的周期？
五、教学反思
本节课通过直观的图像展示与系统的理论讲解，帮助学生全面理解正切函数的性质。同时，通过设置不同层次的练习题，满足不同学生的学习需求。在今后的教学中，可以进一步加强学生对图像变化的理解，提升其综合运用能力。
---
