【分段函数练习题及答案(5页)】分段函数是高中数学中一个重要的知识点，它在实际问题中广泛应用，如税收计算、计费系统等。掌握分段函数的定义、图像绘制以及求值方法，有助于提升学生对函数整体理解的能力。本文将提供一份包含5页内容的分段函数练习题及详细解答，帮助学生巩固相关知识。
第一页：分段函数的基本概念与判断
一、选择题
1. 下列哪个函数是分段函数？
A. $ f(x) = x^2 $
B. $ f(x) = \begin{cases}
2x + 1, & x < 0 \\
x - 3, & x \geq 0
\end{cases} $
C. $ f(x) = \sqrt{x} $
D. $ f(x) = \sin x $
2. 若函数 $ f(x) = \begin{cases}
x + 1, & x \leq 2 \\
2x - 1, & x > 2
\end{cases} $，则 $ f(2) = $ __________。
二、填空题
3. 函数 $ f(x) = \begin{cases}
3x, & x < 1 \\
x^2, & x \geq 1
\end{cases} $ 在 $ x = 1 $ 处的值为 ________。
4. 已知 $ f(x) = \begin{cases}
x^2 + 1, & x < 0 \\
2x - 1, & x \geq 0
\end{cases} $，则 $ f(-1) = $ __________。
第二页：分段函数的图像绘制
一、作图题
1. 画出下列分段函数的图像：
$$
f(x) = \begin{cases}
-x + 2, & x < 1 \\
x - 1, & x \geq 1
\end{cases}
$$
2. 根据图像写出函数表达式：
（图略，假设图像为：当 $ x < 0 $ 时为直线 $ y = -x $；当 $ x \geq 0 $ 时为直线 $ y = x $）
二、简答题
3. 分段函数的图像有什么特点？请举例说明。
第三页：分段函数的求值与连续性
一、计算题
1. 已知函数：
$$
f(x) = \begin{cases}
x^2 + 1, & x < 2 \\
3x - 1, & x \geq 2
\end{cases}
$$
求 $ f(1) $、$ f(2) $、$ f(3) $ 的值。
2. 判断函数是否在 $ x = 1 $ 处连续：
$$
f(x) = \begin{cases}
2x + 1, & x < 1 \\
x^2 + 2, & x \geq 1
\end{cases}
$$
二、应用题
3. 某地出租车起步价为 8 元，行驶 3 公里内按 8 元收费；超过 3 公里后，每公里加收 2 元。写出该出租车费用函数，并计算行驶 5 公里时的费用。
第四页：分段函数的综合应用
一、选择题
1. 函数 $ f(x) = \begin{cases}
x + 1, & x \leq 0 \\
2x, & x > 0
\end{cases} $，则 $ f(f(-1)) = $ __________。
2. 下列关于分段函数的说法中，错误的是：
A. 分段函数在不同区间有不同的表达式
B. 分段函数一定可以画出图像
C. 分段函数在某些点可能不连续
D. 分段函数只能有一个解析式
二、解答题
3. 已知函数：
$$
f(x) = \begin{cases}
2x + 1, & x < 1 \\
x^2 + a, & x \geq 1
\end{cases}
$$
若函数在 $ x = 1 $ 处连续，求实数 $ a $ 的值。
第五页：分段函数的拓展与挑战题
一、拓展题
1. 已知函数：
$$
f(x) = \begin{cases}
x^2, & x < 0 \\
ax + b, & 0 \leq x \leq 2 \\
3x - 1, & x > 2
\end{cases}
$$
若函数在 $ x = 0 $ 和 $ x = 2 $ 处都连续，求 $ a $ 和 $ b $ 的值。
2. 设函数：
$$
f(x) = \begin{cases}
\frac{1}{x}, & x < 1 \\
x^2, & x \geq 1
\end{cases}
$$
求 $ f(0.5) $、$ f(1) $、$ f(2) $ 的值，并判断其在 $ x = 1 $ 处是否连续。
二、思考题
3. 如果你设计一个分段函数来描述“快递费用随重量变化”的情况，你会如何设定不同的区间和对应的费用公式？
参考答案（部分）
第一页：
1. B
2. 1
3. 1
4. -2
第二页：
1. 图像为两条线段，分别在 $ x < 1 $ 和 $ x \geq 1 $ 区间。
2. $ f(x) = |x| $
3. 分段函数在不同区间有不同的表达式，图像可能由多个部分组成。
第三页：
1. $ f(1) = 2 $，$ f(2) = 5 $，$ f(3) = 8 $
2. 连续
3. 费用函数：$ f(x) = \begin{cases} 8, & x \leq 3 \\ 8 + 2(x - 3), & x > 3 \end{cases} $，行驶 5 公里时费用为 12 元。
第四页：
1. $ f(f(-1)) = f(0) = 0 $
2. D
3. $ a = 1 $
第五页：
1. $ a = 2 $，$ b = 0 $
2. $ f(0.5) = 2 $，$ f(1) = 1 $，$ f(2) = 4 $，不连续
3. 可根据不同重量范围设置不同的单价或阶梯式计费方式。
通过这份练习题，学生可以逐步掌握分段函数的定义、图像绘制、求值方法以及连续性判断等核心知识点，为后续学习更复杂的函数模型打下坚实基础。
