【r相关系数（公式）】在统计学中，相关系数是一个用来衡量两个变量之间线性关系强弱的指标。其中，最常见的是皮尔逊相关系数（Pearson Correlation Coefficient），通常用字母 r 表示。这个系数可以帮助我们判断两个变量是否具有正相关、负相关或无相关性。

什么是 r 相关系数？

r 相关系数是基于两个变量之间的协方差与各自标准差的比值来计算的。它的取值范围在 -1 到 +1 之间：

- r = 1：表示完全正相关；

- r = -1：表示完全负相关；

- r = 0：表示没有线性相关性。

需要注意的是，r 只能反映线性关系，不能说明因果关系或其他非线性关系。

r 相关系数的公式

r 的计算公式如下：

$$

r = \frac{\sum{(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}}{\sqrt{\sum{(x_i - \bar{x})^2} \cdot \sum{(y_i - \bar{y})^2}}}

$$

其中：

- $ x_i $ 和 $ y_i $ 是两个变量的观测值；

- $ \bar{x} $ 和 $ \bar{y} $ 分别是 $ x $ 和 $ y $ 的平均值；

- 分子部分为两变量的协方差；

- 分母部分为两个变量的标准差乘积。

这个公式可以简化为：

$$

r = \frac{n\sum{x_i y_i} - (\sum{x_i})(\sum{y_i})}{\sqrt{[n\sum{x_i^2} - (\sum{x_i})^2][n\sum{y_i^2} - (\sum{y_i})^2]}}

$$

其中 n 是样本数量。

如何理解 r 的数值？

- 当 r > 0，说明两个变量呈正相关，即一个变量增加时，另一个变量也倾向于增加；

- 当 r < 0，说明两个变量呈负相关，即一个变量增加时，另一个变量可能减少；

- 当 r 接近 0，说明两者之间几乎没有线性关系。

虽然 r 的绝对值越大，表示相关性越强，但具体是否显著还需要通过假设检验来判断。

应用场景

r 相关系数广泛应用于多个领域，例如：

- 金融：分析股票价格与市场指数之间的关系；

- 医学：研究药物剂量与疗效之间的关联；

- 社会科学：探讨教育水平与收入之间的相关性；

- 数据科学：用于特征选择和模型构建前的相关性分析。

注意事项

尽管 r 相关系数非常有用，但在使用时仍需注意以下几点：

1. 仅适用于线性关系：如果变量间存在非线性关系，r 可能无法准确反映真实情况；

2. 受异常值影响大：一个极端的异常值可能会显著改变 r 的值；

3. 不能证明因果关系：即使两个变量高度相关，也不意味着其中一个导致另一个。

总结

r 相关系数是统计分析中一个基础而重要的工具，能够帮助我们快速了解两个变量之间的线性关系。掌握其公式和使用方法，有助于更深入地理解和分析数据。在实际应用中，结合图表、假设检验和其他统计方法，才能更全面地评估变量之间的关系。