【分式及其基本性质习题课】在数学的学习过程中，分式是一个非常重要的知识点，尤其在初中阶段的代数学习中占据着核心地位。掌握分式的概念、运算规则以及基本性质，不仅有助于提高解题能力，还能为后续学习更复杂的代数内容打下坚实的基础。
本节课将围绕“分式及其基本性质”展开，通过一系列典型例题和练习，帮助学生深入理解分式的定义、运算规律及应用方法。
一、分式的定义与形式
分式是指形如 A/B 的表达式，其中 A 和 B 都是整式，且 B 不为零。其中，A 叫做分子，B 叫做分母。例如：
- $\frac{3}{x}$ 是一个分式；
- $\frac{x+1}{2y}$ 也是一个分式；
- $\frac{5}{7}$ 虽然是分数，但它也可以看作是分式的一种特殊形式。
需要注意的是，分式的分母不能为零，否则该分式无意义。
二、分式的基本性质
分式的基本性质是进行分式化简、通分和运算的重要依据，主要包括以下几点：
1. 分式的分子与分母同时乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变。
即：
$$
\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} \quad (c \neq 0)
$$
$$
\frac{a}{b} = \frac{a \div c}{b \div c} \quad (c \neq 0)
$$
2. 分式的符号法则：
分式的分子、分母同时改变符号，其值不变。即：
$$
\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b}
$$
3. 约分与通分：
- 约分：将分式的分子和分母同时除以它们的公因式，使分式简化；
- 通分：将不同分母的分式转化为相同分母的分式，便于加减运算。
三、典型例题解析
例题1：约分下列分式
$$
\frac{12x^2y}{18xy^2}
$$
解：
先找出分子和分母的公因式：
- 分子：$12x^2y = 6 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot y$
- 分母：$18xy^2 = 6 \cdot 3 \cdot x \cdot y \cdot y$
公因式为 $6xy$，因此：
$$
\frac{12x^2y}{18xy^2} = \frac{6xy \cdot 2x}{6xy \cdot 3y} = \frac{2x}{3y}
$$
例题2：通分并计算
$$
\frac{1}{x+1} + \frac{2}{x-1}
$$
解：
首先找到两个分式的最简公分母，即 $(x+1)(x-1)$。
将两个分式分别通分：
$$
\frac{1}{x+1} = \frac{(x-1)}{(x+1)(x-1)}, \quad \frac{2}{x-1} = \frac{2(x+1)}{(x+1)(x-1)}
$$
然后相加：
$$
\frac{x-1 + 2(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x -1 + 2x + 2}{(x+1)(x-1)} = \frac{3x +1}{(x+1)(x-1)}
$$
四、巩固练习
1. 约分：$\frac{9a^3b}{15ab^2}$
2. 通分并计算：$\frac{3}{x-2} - \frac{1}{x+2}$
3. 判断下列分式是否成立：$\frac{a}{b} = \frac{a+1}{b+1}$（说明理由）
五、总结
通过本节课的学习，我们掌握了分式的定义、基本性质以及如何进行约分和通分。这些知识不仅是考试中的重点，也是解决实际问题的重要工具。希望同学们能够多做练习，熟练运用所学知识，提升自己的数学思维能力。
温馨提示：
在学习分式的过程中，注意区分分式与整式的区别，避免在运算时出现错误。遇到复杂分式时，可以尝试分解因式、寻找公因式，逐步简化问题。
