【第一讲（无穷级数及其收敛性）】在数学的发展过程中，无穷级数是一个非常重要且基础的概念。它不仅在分析学中占据核心地位，也在物理、工程、计算机科学等多个领域有着广泛的应用。本讲将介绍无穷级数的基本概念、收敛性的定义以及一些常见的判别方法。
一、什么是无穷级数？
设有一列数列 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots $，我们将其各项依次相加，得到的表达式称为无穷级数，记作：
$$
\sum_{n=1}^{\infty} a_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots
$$
其中，$ a_n $ 称为该级数的第 $ n $ 项。如果我们将前 $ n $ 项的和记为 $ S_n $，即：
$$
S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n
$$
那么，当 $ n \to \infty $ 时，若 $ S_n $ 趋于某个有限值 $ S $，则称该级数 收敛，并称 $ S $ 为其和；否则，若 $ S_n $ 没有极限或趋于无穷大，则称该级数 发散。
二、收敛与发散的定义
定义：
若存在一个有限数 $ S $，使得：
$$
\lim_{n \to \infty} S_n = S
$$
则称级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} a_n $ 收敛，其和为 $ S $。
否则，若极限不存在或为无穷大，则称该级数发散。
需要注意的是，无穷级数的“和”并不是像普通加法那样直接计算出来的，而是通过极限的方式定义的。
三、常见级数类型
1. 等比级数（几何级数）
形如 $ \sum_{n=0}^{\infty} ar^n $，其中 $ a $ 为常数，$ r $ 为公比。
当 $ |r| < 1 $ 时，该级数收敛，和为 $ \frac{a}{1 - r} $；当 $ |r| \geq 1 $ 时，级数发散。
2. 调和级数
形如 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $，这是一个经典的发散级数，尽管通项趋于零，但其部分和仍趋向于无穷大。
3. p-级数
形如 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} $，当 $ p > 1 $ 时收敛，当 $ p \leq 1 $ 时发散。
四、判断级数收敛的方法
为了判断一个级数是否收敛，通常可以使用以下几种方法：
1. 比较判别法
若存在正项级数 $ \sum b_n $，且对于足够大的 $ n $，有 $ 0 \leq a_n \leq b_n $，则：
- 若 $ \sum b_n $ 收敛，则 $ \sum a_n $ 也收敛；
- 若 $ \sum a_n $ 发散，则 $ \sum b_n $ 也发散。
2. 比值判别法（达朗贝尔判别法）
对于正项级数 $ \sum a_n $，若：
$$
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L
$$
- 若 $ L < 1 $，级数收敛；
- 若 $ L > 1 $，级数发散；
- 若 $ L = 1 $，无法判断。
3. 根值判别法（柯西判别法）
若：
$$
\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L
$$
同样地，根据 $ L $ 的大小判断级数的收敛性。
4. 积分判别法
若函数 $ f(x) $ 是正的、连续的、递减的，且 $ f(n) = a_n $，则级数 $ \sum a_n $ 与积分 $ \int_1^{\infty} f(x) dx $ 同时收敛或同时发散。
五、小结
无穷级数是数学分析中的一个重要工具，理解其收敛性有助于我们更好地处理复杂的函数展开、数值逼近等问题。在实际应用中，我们往往需要结合多种判别方法来判断级数的行为。掌握这些基本概念和方法，是进一步学习傅里叶级数、泰勒级数等高级内容的基础。
注： 本文内容基于数学分析的基本理论编写，旨在帮助初学者建立对无穷级数及其收敛性的初步认识。
