【十个常用的泰勒展开公式】在数学中，泰勒展开是一种将函数表示为无限级数的方法，广泛应用于微积分、数值分析和物理等领域。通过泰勒展开，我们可以将复杂的函数近似为多项式形式，从而更容易进行计算和分析。本文将介绍十个常用的泰勒展开公式，帮助读者更好地理解和应用这一重要工具。
1. e^x 的泰勒展开
$$
e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
$$
该展开式在 $ x = 0 $ 处（即麦克劳林展开）成立，适用于所有实数 $ x $。
2. sin(x) 的泰勒展开
$$
\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots
$$
该展开式在 $ x = 0 $ 处有效，仅包含奇次幂项。
3. cos(x) 的泰勒展开
$$
\cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots
$$
同样在 $ x = 0 $ 处展开，仅含偶次幂项。
4. ln(1+x) 的泰勒展开
$$
\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots
$$
该展开式在 $ |x| < 1 $ 时收敛，当 $ x = 1 $ 时也成立（莱布尼茨级数）。
5. arctan(x) 的泰勒展开
$$
\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots
$$
适用于 $ |x| \leq 1 $，尤其在 $ x = 1 $ 时可以求出 π 的近似值。
6. (1+x)^a 的泰勒展开（二项式展开）
$$
(1+x)^a = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{a}{n} x^n
$$
其中 $ \binom{a}{n} $ 是广义组合数，适用于任意实数 $ a $，且 $ |x| < 1 $。
7. tan(x) 的泰勒展开
$$
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \cdots
$$
此展开式在 $ x = 0 $ 处有效，但收敛范围有限，通常用于小角度近似。
8. sec(x) 的泰勒展开
$$
\sec x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + \cdots
$$
该展开式在 $ x = 0 $ 处有效，适用于小角度的三角函数近似。
9. sinh(x) 和 cosh(x) 的泰勒展开
- 双曲正弦：
$$
\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots
$$
- 双曲余弦：
$$
\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots
$$
这些展开式与普通三角函数类似，但没有交替符号。
10. ln(1-x) 的泰勒展开
$$
\ln(1 - x) = -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \cdots
$$
适用于 $ |x| < 1 $，是 ln(1+x) 的对称版本。
总结
以上十种泰勒展开公式是数学学习和工程应用中非常基础且重要的内容。掌握它们不仅可以加深对函数性质的理解，还能在实际问题中提供有效的近似方法。无论是理论推导还是数值计算，泰勒展开都是不可或缺的工具之一。
希望这篇文章能帮助你更好地理解并记忆这些常用公式！
