【高中数学公式大全三角函数公式】在高中数学的学习过程中，三角函数是一个非常重要的知识点，它不仅贯穿于整个数学课程，还在物理、工程等其他学科中有着广泛的应用。掌握好三角函数的相关公式，对于提高解题效率和理解数学概念具有重要意义。
本文将系统整理并讲解高中阶段常见的三角函数公式，帮助学生全面复习、巩固知识，为考试和实际应用打下坚实的基础。
一、基本三角函数定义
设角α的终边与单位圆交于点P(x, y)，则：
- 正弦函数：sinα = y
- 余弦函数：cosα = x
- 正切函数：tanα = y/x（x ≠ 0）
- 余切函数：cotα = x/y（y ≠ 0）
- 正割函数：secα = 1/x（x ≠ 0）
- 余割函数：cscα = 1/y（y ≠ 0）
二、同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系：
- sin²α + cos²α = 1
- 1 + tan²α = sec²α
- 1 + cot²α = csc²α
2. 商数关系：
- tanα = sinα / cosα
- cotα = cosα / sinα
3. 倒数关系：
- sinα = 1 / cscα
- cosα = 1 / secα
- tanα = 1 / cotα
三、诱导公式（用于角度转换）
诱导公式是处理非第一象限角的重要工具，主要包括以下几类：
1. 周期性公式：
- sin(α + 2kπ) = sinα
- cos(α + 2kπ) = cosα
- tan(α + kπ) = tanα
2. 奇偶性公式：
- sin(-α) = -sinα
- cos(-α) = cosα
- tan(-α) = -tanα
3. 对称性公式（如 π - α、π + α、2π - α 等）：
- sin(π - α) = sinα
- cos(π - α) = -cosα
- tan(π - α) = -tanα
- sin(π + α) = -sinα
- cos(π + α) = -cosα
- tan(π + α) = tanα
- sin(2π - α) = -sinα
- cos(2π - α) = cosα
- tan(2π - α) = -tanα
四、和差角公式
1. 正弦的和差公式：
- sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ
2. 余弦的和差公式：
- cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ
3. 正切的和差公式：
- tan(α ± β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα tanβ)
五、倍角公式
1. 正弦的倍角公式：
- sin2α = 2sinα cosα
2. 余弦的倍角公式：
- cos2α = cos²α - sin²α
- cos2α = 2cos²α - 1
- cos2α = 1 - 2sin²α
3. 正切的倍角公式：
- tan2α = 2tanα / (1 - tan²α)
六、半角公式
1. 正弦的半角公式：
- sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2]
2. 余弦的半角公式：
- cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2]
3. 正切的半角公式：
- tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)]
- 或者：tan(α/2) = sinα / (1 + cosα)
七、积化和差与和差化积公式
1. 积化和差：
- sinα cosβ = [sin(α + β) + sin(α - β)] / 2
- cosα cosβ = [cos(α + β) + cos(α - β)] / 2
- sinα sinβ = [cos(α - β) - cos(α + β)] / 2
2. 和差化积：
- sinα + sinβ = 2sin[(α + β)/2]cos[(α - β)/2]
- sinα - sinβ = 2cos[(α + β)/2]sin[(α - β)/2]
- cosα + cosβ = 2cos[(α + β)/2]cos[(α - β)/2]
- cosα - cosβ = -2sin[(α + β)/2]sin[(α - β)/2]
八、三角函数的图像与性质
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 | 单调性 |
|------|--------|------|------|--------|--------|
| sinx | R| [-1,1] | 2π | 奇函数 | 在[-π/2 + 2kπ, π/2 + 2kπ]上递增，在[π/2 + 2kπ, 3π/2 + 2kπ]上递减 |
| cosx | R| [-1,1] | 2π | 偶函数 | 在[2kπ, π + 2kπ]上递减，在[π + 2kπ, 2π + 2kπ]上递增 |
| tanx | x ≠ π/2 + kπ | R| π| 奇函数 | 在每个区间内单调递增 |
九、常见角度的三角函数值
| 角度（弧度） | sinα | cosα | tanα |
|--------------|------|------|------|
| 0| 0| 1| 0|
| π/6| 1/2| √3/2 | 1/√3 |
| π/4| √2/2 | √2/2 | 1|
| π/3| √3/2 | 1/2| √3 |
| π/2| 1| 0| 无意义 |
十、三角函数的应用
1. 解三角形：利用正弦定理、余弦定理求解三角形的边长或角度。
2. 周期性问题：如简谐运动、波的传播等。
3. 坐标变换：在平面直角坐标系中进行旋转、平移等操作时常用到三角函数。
4. 几何与向量：在向量夹角、投影等问题中广泛应用。
结语
三角函数作为高中数学的重要组成部分，其内容丰富、应用广泛。通过系统学习和熟练掌握这些公式，不仅可以提高解题能力，还能增强对数学规律的理解。希望本文能帮助同学们更好地理解和运用三角函数相关知识，在考试中取得优异成绩。
高中数学公式大全：三角函数公式，不仅是学习的工具，更是思维训练的载体。掌握它，就是掌握了一把打开数学世界大门的钥匙。
