【高数考试题目及答案】高等数学作为大学理工科学生必修的一门基础课程，不仅是后续专业课程的基石，也是许多考试中重点考察的内容。为了帮助同学们更好地复习和巩固知识点，以下整理了一套典型的高数考试题目及参考答案，供学习和练习使用。

一、选择题（每题3分，共15分）

1. 函数 $ f(x) = \frac{1}{x^2 - 4} $ 的定义域是：

A. $ (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) $

B. $ (-2, 2) $

C. $ (-\infty, 2) \cup (2, +\infty) $

D. $ (-\infty, +\infty) $

2. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值为：

A. 0

B. 1

C. $ \frac{1}{2} $

D. 不存在

3. 若函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，则其极值点为：

A. $ x = 1 $

B. $ x = -1 $

C. $ x = 1 $ 和 $ x = -1 $

D. 无极值点

4. 下列函数中，导数为 $ \cos x $ 的是：

A. $ \sin x $

B. $ -\sin x $

C. $ \tan x $

D. $ -\tan x $

5. 设 $ \int_0^1 x^2 dx $ 的值为：

A. $ \frac{1}{2} $

B. $ \frac{1}{3} $

C. $ \frac{1}{4} $

D. $ \frac{1}{5} $

二、填空题（每题4分，共20分）

1. 函数 $ y = \ln(2x + 1) $ 的导数为 __________。

2. 不定积分 $ \int e^{2x} dx = $ __________。

3. 曲线 $ y = x^2 $ 在 $ x = 1 $ 处的切线斜率为 __________。

4. 若 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x} $，则 $ f'(x) = $ __________。

5. 定积分 $ \int_1^2 \frac{1}{x} dx = $ __________。

三、计算题（每题10分，共40分）

1. 求极限：$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x $。

2. 计算不定积分：$ \int x \cdot \cos x \, dx $。

3. 求函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x $ 的极值。

4. 计算定积分：$ \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx $。

四、应用题（共25分）

设某物体的运动方程为 $ s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t $，其中 $ s $ 表示位移（单位：米），$ t $ 表示时间（单位：秒）。

（1）求该物体在 $ t = 2 $ 秒时的速度；

（2）求该物体在 $ t = 0 $ 到 $ t = 3 $ 秒之间的总路程。

参考答案

一、选择题

1. A

2. B

3. C

4. A

5. B

二、填空题

1. $ \frac{2}{2x + 1} $

2. $ \frac{1}{2}e^{2x} + C $

3. 2

4. $ \frac{x^2 - 1}{x^2} $

5. $ \ln 2 $

三、计算题

1. $ e $

2. $ x \sin x + \cos x + C $

3. 极小值点 $ x = 3 $，极大值点 $ x = 1 $

4. 1

四、应用题

（1）速度 $ v(2) = 3 \times 2^2 - 12 \times 2 + 9 = -3 $ 米/秒

（2）总路程为 8 米

通过以上题目的练习，可以有效提升对高等数学基本概念的理解与运用能力。建议同学们在做题过程中注重思路分析，避免死记硬背，逐步提高解题技巧和逻辑思维能力。