【函数的单调性与导数教案】一、教学目标：

1. 知识与技能目标：

- 理解函数的单调性与导数之间的关系。

- 掌握利用导数判断函数单调性的方法。

- 能够根据导数的正负判断函数在某个区间上的增减情况。

2. 过程与方法目标：

- 通过实例分析，培养学生观察、归纳和推理的能力。

- 引导学生从几何直观入手，理解导数的几何意义。

3. 情感态度与价值观目标：

- 激发学生对数学规律探索的兴趣。

- 培养学生严谨的数学思维习惯。

二、教学重点与难点：

- 重点： 函数的单调性与导数的关系。

- 难点： 利用导数判断函数的单调区间。

三、教学准备：

- 多媒体课件（展示函数图像、导数变化等）。

- 学案或练习题纸。

- 教师提前准备好相关例题与习题。

四、教学过程设计：

1. 情境导入（5分钟）

教师通过提问引入课题：“我们之前学习了函数的单调性，那么如何更准确地判断一个函数在哪个区间是递增的，哪个区间是递减的呢？”引导学生回忆函数单调性的定义，并引出“导数”这一工具。

2. 新知讲解（20分钟）

（1）复习函数单调性的定义：

- 如果在区间I上，当x₁ < x₂时，都有f(x₁) < f(x₂)，则称f(x)在I上是增函数；

- 如果在区间I上，当x₁ < x₂时，都有f(x₁) > f(x₂)，则称f(x)在I上是减函数。

（2）引入导数的概念：

- 导数表示函数在某一点的瞬时变化率，也反映了函数图像的斜率。

- 当导数为正时，函数图像上升；当导数为负时，函数图像下降。

（3）总结函数单调性与导数的关系：

- 若在区间I内，f′(x) > 0，则f(x)在I上单调递增；

- 若在区间I内，f′(x) < 0，则f(x)在I上单调递减；

- 若f′(x) = 0，则函数在该点可能有极值或拐点，需进一步分析。

3. 例题讲解（15分钟）

例1：求函数f(x) = x³ - 3x 的单调区间。

解题步骤：

1. 求导：f′(x) = 3x² - 3；

2. 解不等式：f′(x) > 0 ⇒ 3x² - 3 > 0 ⇒ x² > 1 ⇒ x < -1 或 x > 1；

3. f′(x) < 0 ⇒ -1 < x < 1；

4. 得出结论：f(x) 在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递增，在 (-1, 1) 上单调递减。

例2：判断函数f(x) = sinx 在区间 [0, π] 上的单调性。

解题思路：

- 求导：f′(x) = cosx；

- 分析cosx在[0, π]上的符号：

- 当x ∈ [0, π/2) 时，cosx > 0，函数递增；

- 当x ∈ (π/2, π] 时，cosx < 0，函数递减；

- 结论：函数在[0, π/2]上递增，在[π/2, π]上递减。

4. 学生练习（15分钟）

布置练习题，让学生独立完成，教师巡视指导。例如：

- 求函数f(x) = x² - 4x + 5的单调区间；

- 判断函数f(x) = e^x 在R上的单调性；

- 比较两个函数在不同区间的增减趋势。

5. 总结与提升（5分钟）

- 回顾函数单调性与导数的关系；

- 强调导数在研究函数性质中的重要作用；

- 鼓励学生结合图像进行理解，增强直观感知。

五、作业布置：

1. 完成课本相关习题；

2. 自选一道函数，尝试用导数判断其单调性，并写出分析过程。

六、板书设计：

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函数的单调性与导数

一、函数单调性定义

- 增函数：x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

- 减函数：x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

二、导数与单调性的关系

- f′(x) > 0 ⇒ 单调递增

- f′(x) < 0 ⇒ 单调递减

三、例题分析

- f(x) = x³ - 3x

- f(x) = sinx

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七、教学反思（课后填写）：

本节课通过理论讲解与实例分析相结合的方式，帮助学生理解导数在判断函数单调性中的作用。部分学生在应用过程中仍存在计算错误或逻辑不清的问题，需在后续课程中加强训练与巩固。