在高中数学的学习过程中，数学公式是解决各类问题的重要工具。尤其是高一数学必修一的内容，涵盖了集合、函数、基本初等函数、指数与对数、三角函数等多个重要知识点。掌握这些公式的应用，有助于提高解题效率和数学思维能力。

以下是一份系统整理的“高一数学必修一公式大全”，帮助学生更好地理解和记忆相关知识点。

一、集合部分

1. 集合的表示方法

- 列举法：如 $ A = \{1,2,3\} $

- 描述法：如 $ A = \{x | x \text{ 是小于 } 4 \text{ 的正整数}\} $

2. 集合的基本运算

- 并集：$ A \cup B = \{x | x \in A \text{ 或 } x \in B\} $

- 交集：$ A \cap B = \{x | x \in A \text{ 且 } x \in B\} $

- 补集：$ \complement_U A = \{x | x \in U \text{ 且 } x \notin A\} $（其中 $ U $ 为全集）

3. 集合的性质

- 交换律：$ A \cup B = B \cup A $，$ A \cap B = B \cap A $

- 结合律：$ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $，$ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $

- 分配律：$ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $，$ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $

二、函数部分

1. 函数的定义域

- 若函数为 $ f(x) = \frac{1}{x} $，则定义域为 $ x \neq 0 $

- 若函数为 $ f(x) = \sqrt{x} $，则定义域为 $ x \geq 0 $

2. 函数的单调性

- 增函数：若 $ x_1 < x_2 $，则 $ f(x_1) < f(x_2) $

- 减函数：若 $ x_1 < x_2 $，则 $ f(x_1) > f(x_2) $

3. 函数的奇偶性

- 偶函数：$ f(-x) = f(x) $，图像关于 y 轴对称

- 奇函数：$ f(-x) = -f(x) $，图像关于原点对称

三、基本初等函数

1. 一次函数

- 表达式：$ y = kx + b $，其中 $ k $ 为斜率，$ b $ 为截距

2. 二次函数

- 表达式：$ y = ax^2 + bx + c $，顶点坐标为 $ \left( -\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a} \right) $

3. 指数函数

- 表达式：$ y = a^x $，其中 $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $

- 性质：当 $ a > 1 $ 时，函数递增；当 $ 0 < a < 1 $ 时，函数递减

4. 对数函数

- 表达式：$ y = \log_a x $，其中 $ a > 0 $ 且 $ a \neq 1 $

- 对数恒等式：

- $ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y $

- $ \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y $

- $ \log_a x^n = n \log_a x $

四、三角函数

1. 三角函数的基本关系

- $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $

- $ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $

- $ \cot x = \frac{1}{\tan x} $

2. 诱导公式

- $ \sin(\pi - x) = \sin x $

- $ \cos(\pi - x) = -\cos x $

- $ \sin(\pi + x) = -\sin x $

- $ \cos(\pi + x) = -\cos x $

3. 三角函数的周期性

- 正弦函数和余弦函数的周期为 $ 2\pi $

- 正切函数的周期为 $ \pi $

五、其他常用公式

1. 平方差公式

- $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $

2. 立方和与立方差公式

- $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $

- $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $

3. 完全平方公式

- $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

- $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

通过以上内容的整理和归纳，可以帮助高一学生更系统地掌握数学必修一中的关键公式，提升学习效率和应试能力。建议在学习过程中结合例题进行练习，加深对公式的理解与应用。