在高中阶段，数学作为一门基础学科，涵盖了代数、几何、三角函数、概率统计等多个领域。掌握并灵活运用各类数学公式，是提高解题效率和考试成绩的关键。本文将系统整理高中数学中常见的公式，帮助学生更好地理解和应用。
一、代数部分
1. 平方差与立方公式：
- $ a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) $
- $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $
- $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $
2. 完全平方公式：
- $ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
- $ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
3. 二次方程求根公式：
对于方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其根为：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
4. 韦达定理（根与系数关系）：
若方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的两根为 $ x_1, x_2 $，则：
- $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} $
- $ x_1 x_2 = \frac{c}{a} $
5. 指数与对数公式：
- $ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $
- $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $
- $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $ （换底公式）
- $ \log_a (mn) = \log_a m + \log_a n $
- $ \log_a \left(\frac{m}{n}\right) = \log_a m - \log_a n $
二、三角函数部分
1. 基本三角函数定义：
- $ \sin \theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $
- $ \cos \theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $
- $ \tan \theta = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} $
2. 同角三角函数关系：
- $ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 $
- $ 1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta $
- $ 1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta $
3. 诱导公式：
- $ \sin(-\theta) = -\sin \theta $
- $ \cos(-\theta) = \cos \theta $
- $ \sin(\pi - \theta) = \sin \theta $
- $ \cos(\pi - \theta) = -\cos \theta $
4. 和差角公式：
- $ \sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b $
- $ \cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b $
5. 倍角公式：
- $ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta $
- $ \cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta = 2\cos^2 \theta - 1 = 1 - 2\sin^2 \theta $
三、几何部分
1. 平面几何常用公式：
- 三角形面积：$ S = \frac{1}{2} \times 底 \times 高 $
- 圆的周长：$ C = 2\pi r $
- 圆的面积：$ S = \pi r^2 $
- 正方形面积：$ S = a^2 $
- 矩形面积：$ S = ab $
2. 立体几何常用公式：
- 长方体体积：$ V = abc $
- 圆柱体积：$ V = \pi r^2 h $
- 圆锥体积：$ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h $
- 球体体积：$ V = \frac{4}{3} \pi r^3 $
- 球表面积：$ S = 4\pi r^2 $
四、数列与不等式
1. 等差数列：
- 通项公式：$ a_n = a_1 + (n-1)d $
- 前n项和：$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $
2. 等比数列：
- 通项公式：$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $
- 前n项和：$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $ r \neq 1 $）
3. 均值不等式：
- 对于正实数 $ a, b $，有 $ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} $，当且仅当 $ a = b $ 时取等号。
五、导数与积分（选修内容）
1. 导数基本公式：
- $ (x^n)' = nx^{n-1} $
- $ (\sin x)' = \cos x $
- $ (\cos x)' = -\sin x $
- $ (\ln x)' = \frac{1}{x} $
- $ (e^x)' = e^x $
2. 不定积分公式：
- $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $）
- $ \int \sin x dx = -\cos x + C $
- $ \int \cos x dx = \sin x + C $
- $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $
- $ \int e^x dx = e^x + C $
六、概率与统计
1. 排列组合公式：
- 排列数：$ A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} $
- 组合数：$ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $
2. 概率基本公式：
- 事件A的概率：$ P(A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{总结果数}} $
- 加法公式：$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $
- 乘法公式：$ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) $
3. 期望与方差：
- 期望：$ E(X) = \sum x_i P(x_i) $
- 方差：$ D(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $
结语
高中数学公式繁多，但只要理解其推导过程，并结合实际题目进行练习，就能逐步掌握并灵活运用。建议同学们在学习过程中注重总结与归纳，建立自己的“公式手册”，以便复习和查阅。希望本文能为你的数学学习提供帮助！
