在2013年的北京市中考中，数学试卷作为重要的一环，不仅考察了学生的基础知识掌握情况，还注重考查学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。这份试卷涵盖了初中阶段所学的主要知识点，并且在题目设计上体现了较强的灵活性和综合性。

以下是根据当年考试回忆整理的部分试题及其解答过程：

选择题部分

1. 题目描述：某商品原价为a元，连续两次降价后价格变为b元。已知每次降价百分比相同，则降价百分比为多少？

- 解答思路：设降价百分比为x%，则有 \( a(1-x)^2 = b \)，通过解方程可得 x 的值。

2. 题目描述：若直角三角形两直角边长分别为3和4，则斜边上的高是多少？

- 解答思路：利用面积公式 \( S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch \)，其中 c 为斜边长度，h 为所求高度。

填空题部分

1. 题目描述：已知函数 f(x) = x^2 + px + q 的图像经过点 (1, 0)，并且当 x=2 时取得最小值，则 p 和 q 分别为何值？

- 解答思路：由条件可列出两个方程组，分别代入点坐标和顶点公式求解。

2. 题目描述：一个圆内接正方形的边长为 a，则该圆的半径 R 与 a 的关系是什么？

- 解答思路：正方形对角线即为圆直径，由此推导出 R 与 a 的关系式。

解答题部分

1. 题目描述：证明勾股定理。

- 解答思路：可以通过构造图形或者利用几何变换的方法进行证明。

2. 题目描述：某工厂生产 A、B 两种产品，每天最多能生产 100 件，每件 A 利润 5 元，每件 B 利润 8 元。如何安排生产计划才能使总利润最大？

- 解答思路：设生产 A 件数为 x，B 件数为 y，建立目标函数并结合约束条件求最优解。

以上仅为部分典型例题展示，实际试卷还包括更多细节性问题以及应用型题目。对于考生而言，平时应注重基础知识的学习与巩固，同时加强解题技巧训练，提高综合运用能力。希望每位考生都能在考试中发挥出色水平，取得理想成绩！