一、选择题

1. 下列方程中，哪一个是标准的一元二次方程？

A. $ x + 5 = 0 $

B. $ 3x^2 - 4x + 7 = 0 $

C. $ 2x^3 - 5x + 1 = 0 $

D. $ \frac{1}{x} + 2 = 0 $

答案：B

2. 方程 $ x^2 - 6x + 9 = 0 $ 的解为：

A. $ x = 3 $

B. $ x = -3 $

C. $ x = 3 $ 和 $ x = -3 $

D. 无解

答案：A

3. 若方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的判别式 $ \Delta = b^2 - 4ac $ 为正，则该方程有：

A. 两个相等的实数根

B. 两个不相等的实数根

C. 一个实数根

D. 无实数根

答案：B

二、填空题

4. 已知方程 $ x^2 - 5x + k = 0 $ 的两根之积为 6，则 $ k = $ ______。

答案：6

5. 若方程 $ x^2 - 8x + m = 0 $ 的两根互为相反数，则 $ m = $ ______。

答案：16

三、解答题

6. 解方程 $ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $。

解析：

利用求根公式 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $，

其中 $ a = 2, b = -3, c = -2 $。

$$

\Delta = (-3)^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25

$$

$$

x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{3 \pm 5}{4}

$$

$$

x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}

$$

答案：$ x_1 = 2, x_2 = -\frac{1}{2} $

7. 某商品原价为 200 元，经过两次降价后售价为 162 元，每次降价的百分比相同。求每次降价的百分比。

解析：

设每次降价的百分比为 $ x $，则原价 $ 200(1-x)^2 = 162 $。

$$

(1-x)^2 = \frac{162}{200} = 0.81

$$

$$

1-x = \sqrt{0.81} = 0.9

$$

$$

x = 1 - 0.9 = 0.1

$$

答案：每次降价的百分比为 10%。

通过以上题目和解析，希望同学们能够熟练掌握一元二次方程的相关知识点，并在考试中取得好成绩！