平方差公式

平方差公式的基本形式为：

\[a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)\]

练习题 1

计算以下表达式的值：

\[16x^2 - 9y^2\]

解析：根据平方差公式，我们可以将其分解为：

\[(4x)^2 - (3y)^2 = (4x + 3y)(4x - 3y)\]

答案：\[16x^2 - 9y^2 = (4x + 3y)(4x - 3y)\]

完全平方公式

完全平方公式有两种形式：

1. \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)

2. \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)

练习题 2

展开并化简以下表达式：

\[(3m + 5n)^2\]

解析：利用完全平方公式的第一种形式：

\[(3m + 5n)^2 = (3m)^2 + 2(3m)(5n) + (5n)^2\]

\[= 9m^2 + 30mn + 25n^2\]

答案：\[(3m + 5n)^2 = 9m^2 + 30mn + 25n^2\]

混合练习

练习题 3

已知 \(x^2 - y^2 = 24\)，且 \(x + y = 8\)，求 \(x\) 和 \(y\) 的值。

解析：根据平方差公式，\(x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)\)，代入已知条件：

\[(x + y)(x - y) = 24\]

\[8(x - y) = 24\]

\[x - y = 3\]

现在我们有两个方程：

1. \(x + y = 8\)

2. \(x - y = 3\)

解得：

\[x = \frac{8 + 3}{2} = 5.5\]

\[y = \frac{8 - 3}{2} = 2.5\]

答案：\(x = 5.5, y = 2.5\)

通过以上练习题，希望大家能够熟练运用平方差公式和完全平方公式进行计算和化简。这些公式不仅在数学学习中有重要作用，还广泛应用于物理、工程等领域。继续多做相关练习，巩固基础，提升能力！