在学习和研究数学的过程中，微积分无疑是一个极为重要的分支。它不仅为解决实际问题提供了强大的工具，同时也构成了现代科学和技术的基础。为了帮助大家更好地理解和掌握微积分的核心知识，本文将系统地整理并呈现一系列常用的微积分公式。
一、极限与连续性
1. 极限的基本定义：
\[
\lim_{x \to c} f(x) = L \quad \text{表示当 } x \to c \text{ 时，} f(x) \to L.
\]
2. 极限运算规则：
- 若 \(\lim_{x \to c} f(x) = L_1\) 且 \(\lim_{x \to c} g(x) = L_2\)，则
\[
\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = L_1 + L_2,
\]
\[
\lim_{x \to c} [f(x) \cdot g(x)] = L_1 \cdot L_2.
\]
3. 连续性的定义：
函数 \(f(x)\) 在点 \(c\) 处连续，当且仅当
\[
\lim_{x \to c} f(x) = f(c).
\]
二、导数与微分
1. 导数的基本定义：
\[
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}.
\]
2. 常见函数的导数公式：
- 幂函数：\((x^n)' = n \cdot x^{n-1}\)
- 指数函数：\((e^x)' = e^x\)
- 对数函数：\((\ln|x|)' = \frac{1}{x}\)
- 三角函数：
\[
(\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x.
\]
3. 微分法则：
- 乘法法则：\([u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)\)
- 链式法则：若 \(y = f(g(x))\)，则 \(y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
三、积分与不定积分
1. 不定积分的基本性质：
- 线性性质：\(\int [af(x) + bg(x)] dx = a \int f(x) dx + b \int g(x) dx\)
- 分部积分法：\(\int u dv = uv - \int v du\)
2. 常见不定积分公式：
- 幂函数：\(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)\)
- 指数函数：\(\int e^x dx = e^x + C\)
- 对数函数：\(\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C\)
3. 定积分的应用：
定积分可以用来计算面积、体积以及物理量（如功、质量等）。例如：
\[
S = \int_a^b f(x) dx,
\]
其中 \(S\) 表示曲线 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上与 \(x\)-轴之间的面积。
四、多元微积分
1. 偏导数：
对于多变量函数 \(f(x, y)\)，偏导数定义为：
\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h},
\]
类似地可定义 \(\frac{\partial f}{\partial y}\)。
2. 梯度向量：
函数 \(f(x, y)\) 的梯度为：
\[
\nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right).
\]
3. 多重积分：
双重积分用于计算曲面下的体积：
\[
V = \iint_R f(x, y) dA,
\]
其中 \(R\) 是平面区域。
以上便是《数学微积分公式大全》的核心内容。希望这些公式能够帮助你更高效地学习和应用微积分。当然，公式只是工具，真正理解其背后的原理才是关键所在。祝你在数学探索之路上不断进步！
