在数学中，函数的值域是一个非常重要的概念。它指的是函数所能取到的所有可能的输出值的集合。为了更好地理解这一概念，我们来看几个具体的例子，并逐步分析如何求解这些函数的值域。

例题一：简单多项式函数

题目：求函数 $f(x) = x^2 - 4x + 3$ 的值域。

解答：

首先，这是一个二次函数，其一般形式为 $ax^2 + bx + c$。对于二次函数，可以通过配方或利用顶点公式来确定其值域。

1. 配方法：

将函数化为顶点形式：

$$

f(x) = (x^2 - 4x) + 3 = (x - 2)^2 - 1

$$

从这个表达式可以看出，当 $x = 2$ 时，函数取得最小值 $-1$。由于平方项 $(x - 2)^2 \geq 0$，因此函数的值域为 $[-1, +\infty)$。

2. 顶点公式法：

对于二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$，顶点的横坐标为 $x = -\frac{b}{2a}$。这里 $a = 1, b = -4$，所以顶点横坐标为：

$$

x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2

$$

将 $x = 2$ 代入原函数，得到顶点纵坐标：

$$

f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1

$$

因此，函数的最小值为 $-1$，且由于抛物线开口向上，值域为 $[-1, +\infty)$。

例题二：分式函数

题目：求函数 $g(x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ 的值域。

解答：

1. 分析定义域：

分式函数的分母不能为零，因此 $x - 1 \neq 0$，即 $x \neq 1$。所以，函数的定义域为 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$。

2. 分离变量法：

将函数改写为：

$$

g(x) = 1 + \frac{2}{x - 1}

$$

当 $x \to 1^+$ 或 $x \to 1^-$ 时，$\frac{2}{x - 1}$ 趋向于正无穷或负无穷，因此 $g(x)$ 可以取任意实数值，但不包括 $g(x) = 1$（因为 $\frac{2}{x - 1}$ 不可能为零）。

综上所述，函数的值域为 $(-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$。

例题三：三角函数

题目：求函数 $h(x) = \sin(x) + \cos(x)$ 的值域。

解答：

1. 利用三角恒等式：

利用三角恒等式 $\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$，我们可以将函数转化为一个正弦函数的形式。

2. 分析正弦函数的范围：

正弦函数的取值范围是 $[-1, 1]$。因此，$\sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4})$ 的取值范围是 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$。

所以，函数 $h(x)$ 的值域为 $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$。

总结

通过以上三个例子，我们可以看到，求解函数的值域需要根据函数的具体形式选择合适的方法。无论是二次函数、分式函数还是三角函数，掌握基本的数学工具和技巧是关键。希望这些例题能帮助你更好地理解和应用值域的概念。